无时间变慢及长度收缩的相对论变换公式推导

秦盛*

（成都钧盛私募基金管理有限公司，成都 610000）

2.02.02.02.02.02.02.02.02.0Chengdu Junsheng Private Equity Fund Management Co., Ltd成都钧盛私募基金管理有限公司，成都 6100006100001993827864413708092617四川省成都市青羊区青羊大道98号光华馨地qinsheng@smail.swufe.edu.cn秦盛，男，2007年毕业于安徽大学数学系，2012年毕业于西南财经大学经济学院，主要研究方向：数学、物理学、社会科学秦盛Qin Sheng秦盛 2.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.01*|*期刊*|*冯仕猛. 狭义相对论中质量与速度关系的特色推导方法. 大学物理，2021，Vol.40，No.6：32-35.<CR>2*|*期刊*|*王永刚，曹学成等，用时空代数推导狭义相对论的任意方向加速度变换.大学物理，2019,Vol.38，No.4：8-12.<CR>3*|*专著*|*戴又善，宋孝同，无需光速不变假设的狭义相对论新推导.浙江大学学报，2016，Vol.43，No.2：247-251.<CR>4*|*专著*|*路峻岭, 汪荣宝，多普勒效应公式的简便推导.大学物理，2005，Vol.24，No.8:25-29.<CR>5*|*期刊*|*高炳坤，王凤林 ，相对论多普勒效应的简易推导.大学物理，2003，Vol.22，No.8:15-16.<CR>6*|*期刊*|*Hirsch I. Mandelberg; Louis Witten，Journal of the Optical Society of America,Volume 52, Issue 5.1962.PP:529-535<CR>7*|*期刊*|*美国国家技术研究所.美精确实验证实爱因斯坦狭义相对论.物理通报.2006，第一期：P64<CR>8*|*期刊*|*A.H.Compton,Phys.Rev.,Vo1.22(1923),p409<CR>9*|*期刊*|*爱因斯坦著，杨子译.相对论.北京市：台海出版社，2017年.<CR>10*|*期刊*|*赵凯华，陈熙谋.电磁学.北京市：高等教育出版社，2021年.<CR>11*|*期刊*|*Simon Rainville, James K. Thompson et al，A direct test of E=mc2，Nature，2005， volume 438：1096–1097无时间变慢及长度收缩的相对论变换公式推导|derivation of special relativity transformation formula without time slowing and length contraction|*|1|秦盛|Qin Sheng|成都钧盛私募基金管理有限公司，成都 610000|Chengdu Junsheng Private Equity Fund Management Co., Ltd|秦盛，男，2007年毕业于安徽大学数学系，2012年毕业于西南财经大学经济学院，主要研究方向：数学、物理学、社会科学|四川省成都市青羊区青羊大道98号光华馨地|610000|qinsheng@smail.swufe.edu.cn|13708092617|19938278644

摘要：本文尝试采用一种全新的方式去推导狭义相对论变换公式，在不需要假设时间变慢、长度收缩的前提下，使用经过实验验证的普朗克能量公式、动量公式和质能方程作为基础，即可得到狭义相对论的相关结论。 本文严格推导出多普勒频移公式、狭义相对论中的动态质量公式、速度变换公式。同时，本文最大的创新在于指出：（1）补充了多普勒频移公式的前提条件，指出多普勒相对论频移公式中物体的相对运动速度，实际上是相对于物体发射光子后的速度，而不是相对于发射前的速度，弥补了多普勒相对论频移公式的不足；（2）证明并修正了传统相对论光行差公式，推出了正确的相对论光行差公式。

关键词：时间变慢；长度收缩；多普勒频移；动质量；速度变换。

中图分类号：O4-0

derivation of special relativity transformation formula without time slowing and length contraction

Qin Sheng

(Chengdu Junsheng Private Equity Fund Management Co., Ltd)

Abstract: In this paper, we try to use a new way to deduce the transformation formula of special relativity. On the premise of not assuming that time slows down and length shrinks, we use the experimentally tested Planck energy formula, momentum formula and mass-energy equation as the basis, namely, The relevant conclusions of the special theory of relativity can be obtained.At the same time, the biggest innovation of this paper is to point out that the relative motion speed of the object in the frequency shift formula of Doppler relativity is actually relative to the speed after the object emits photons, not relative to the speed before emission, which makes up for the Doppler relativity theory The insufficiency of the frequency shift formula is more conducive to progress in the experiment, and can better provide support for experimental verification and calculation.

Key words: Time slows down; Length shrinkage; Doppler shift; Dynamic mass; Velocity transformation.

引言

过去很多物理学家都曾经提出过很多新颖而简便的方法去推导狭义相对论的结论，例如冯士猛提出过一种质量与速度关系的特色推导方法，但保留了时间与坐标变换函数[1]；王永刚，曹学成等尝试使用时空代数来对相对论速度变换公式进行推导，更多的是一种形式上的转换[2]；戴又善，宋孝同，在其文章“无需光速不变假设的狭义相对论新推导”中，基于力学模型提出了一种不需要对光速不变假设的方法，但是其中依旧需要用到时间变换假设[3]。还有一些学者利用相对论时间及长度变换关系对多普勒频移效应进行推导的，例如路峻岭,汪荣宝[4]和 高炳坤，王凤林[5]。

然而上述文章中的推论方式，都依旧保留了相对论的时间变换及长度变换公式。而本文所利用的这种全新的方式，不需要依赖于相对论时间变换及长度变换，仅仅依赖于传统的动量守恒和能量守恒，就能够推导出狭义相对论的如下变换公式：相对论多普勒频移公式、相对论动质量公式、相对论速度变换公式。

而且更重要的是，本文证明了多普勒相对论频移公式中物体的相对运动速度，实际上是相对于物体发射光子后的速度而不是发射前的速度。在过去的实验研究的计算中，这一点是被忽略了的[6]，这弥补了相对论多普勒频移公式的不足。

作者认为，只有基于严格的实验基础，才是构建物理学理论的坚实基础。

本文与狭义相对论最大区别：

（1）无需假设长度收缩、时间变慢，甚至无需光速不变假设，本文基于惯性系物理定律相同的物理公设。

（2）理论的基础是基于我们目前已经被实验所严格证明的质能方程[7] [11]。普朗克光子的能量公式及动量公式（由康普顿散射实验检验[8]）。

（3）在结合另一篇文章的结论基础上，我们保留同时性的绝对性及空间的相对性，严格推导出光子的多普勒效应、动质量公式及速度变换公式，严格证明了相对论的变换公式不需要时间变慢及长度收缩作为假设前提。

狭义相对论变换公式的证明

相对论多普勒频移公式证明

首先，基于普朗克公式及（E是能量，P是动量，h是普朗克常数，是光子频率）。我们证明两个定理：

定理1：两个相对运动物体A和B之间相互发射光子的红移或者蓝移多普勒效应，其对应的光子频率变换公式中的两个物体A和B的相对速度，指的是物体A或者B发射光子后A和B的相对运动速度。

证明：

如图1所示，我们假设一个黑匣子静止在自由的宇宙空间中，我们从黑匣子的一侧发射一个频率为的光子，在黑匣子另一侧被吸收。我们知道黑匣子作为整体将保持动量和能量守恒，最终将继续保持静止状态。

图1 静止的黑匣子中光子发射和吸收

Fig. 1 Photon emission and absorption in a stationary black box

那么我们就可以推理：由于黑匣子与光子之间动量守恒，在黑匣子发射光子后且在光子被另一侧吸收以前，黑匣子将会获得一个速度v（相对于光子运动的反方向），那么也就意味着光子被吸收时黑匣子不再处于静止状态，而是具有一个相对的运动速度v。

我们假设多普勒蓝移公式为：

其中，是光子蓝移后的频率；

我们假设多普勒红移公式为：

其中，是光子红移后的频率。

且：

假如光子频率是相对黑匣子发射前的静止状态，那么在黑匣子吸收光子时就会因为黑匣子具有相对速度v而获得一个蓝移效应，光子频率会因此发生蓝移变为：。

那么，根据普朗克公式，黑匣子在发射时相对光子获得一个动量：；在吸收光子时由于多普勒蓝移效应获得另一个动量：，显然，黑匣子在发射光子前后动量不守恒，这显然违反动量守恒定律。

因此，只有假设光子的频率实际上是相对黑匣子发射光子后获得速度v之后的状态，那么此时对于光子而言在被黑匣子另一侧吸收时，才是相当于被一个与发射物处于相对静止状态的物体吸收，此时光子被吸收时的频率依旧为（由于，发射物体和吸收物体之间相对运动速度为0），此时黑匣子发射吸收前后都将保持动量和能量守恒。

因此，我们在计算多普勒红移或者蓝移公式时，或者 中的v，实际上指的是相对运动物体A和B发射光子后，A和B的相对运动速度。

而不是发射光子前A和B的相对运动速度。

因此，如果我们用高速运动的粒子辐射光子来检验多普勒频移公式的正确性，那么我们计算时所采用的速度v就应该是粒子辐射光子后的速度，而不是高速粒子辐射光子前的运动速度。

证毕。

这一结果与爱因斯坦狭义相对论中是不同的[9]，弥补了狭义相对论中对多普勒频移公式的不足，更严谨的回答了多普勒频移公式的前提条件。

定理2：两个物体以相同的速度v分别做相向和远离运动，产生的多普勒蓝移和红移效应成倒数关系。假设物体A和B以速度v相向运动，从A发射频率为的光子到B，假设其蓝移后频率为；那么在A和B以速度v做远离运动时，其红移频率将为，（其中，是一个与速度相关的多普勒频移函数）。

证明：如下图2所示

图2 多普勒红移和多普勒蓝移

Fig. 2 Doppler red shift and Doppler blue shift

假设一个物体A相对地面观察者以速度v向X轴方向运动，A先向运动前方地面处发射频率为的光子，此时因为蓝移效应，假设处地面观察者接收到的光子频率为。根据前面的“定理1”的结论，我们知道此时指的是A发射光子后相对地面的运动速度。

在前方地面处接收到光子后，地面观察者再从后方处向A的后方发射一个同样频率为的光子，然后被A所吸收。此时由于物体相对后方地面发射光子方向以做远离运动，因此会产生红移效应，光子被A吸收时频率变为。

假设地面足够大，我们可以忽略地面接收光子和发射光子前后地面自身的速度变化。那么对地面观察者而言，在接收到频率为的光子和发射频率为的光子后，地面作为一个整体的动量和能量都将保持不变（因为地面观察者吸收和发射了同样频率的光子，且方向相反）。

那么同时，必然物体A在发射频率为的光子前和吸收频率为光子后，物体A相对地面的运动速度v和A的质量（整体能量）都将保持不变，即A的动量和能量将保持不变。

因此通过A的视角看来，要保持发射光子和吸收光子前后动量和能量不变：必然是先向前方处发射了一个频率为的光子，然后又从运动的后方处吸收了一个频率为的光子，只有这样才能保持前后自身动量和能量的守恒。我们假设其红移公式为，那么必然有如下关系：

因此，得到：

证毕。

定理3：相对论多普勒红移公式为：；蓝移公式为：。

证明：

我们继续做如下思想实验，如下图3所示：假设物体A相对于观察系S以速度v运动沿X轴方向运动，在某个时刻A同时向其运动方向及其反方向发射两个等价光子，假设两个光子频率为都为。

图3 多普勒频移公式证明图

Fig. 3 Proof diagram of Doppler frequency shift formula

两个光子被地面观察者所在观察系S所观察到，对于A来说其发射前后相对地面的运动速度v是不变的（前后发射的光子总动量为P=0），唯一减小的是A的整体质量（我们可以假设这两个光子是伴随A一起运动的一对正负电子湮灭产生的一对对称的光子，发射前后对于A而言减小的仅仅是这一对正负电子的质量，物体A发射前后相对地面的运动速度v不变）。对于S系的地面观察者看来也是如此，发射前后A的相对速度v是保持不变的。

那么在运动的前方处，地面观察者所观察到的光子具有蓝移，假设检测到的光子频率为，那么根据我们前面“定理2”的结论，地面观察者后方处检测到的红移后光子频率为。

那么此时从S系地面观察者看来，假设物体A所减小的质量为，它将等于地面观察者所观察到的光子的能量总和（注意这里在地面观察者看来是一个动质量），由普朗克公式得出:

S系地面观察者观察到的A减小的动量为:

（1）

同时，根据光子动量的普朗克公式，该动量又等于地面观察者观察到的两个前后光子的动量之和（因为地面观察者获得的总动量由前后两个光子的动量只和构成），由于两个光子方向相反，因此有如下关系：

（2）

上述由式子（1）和（2）构成的方程组中只有一个未知量，我们得到如下方程：

（3）

我们通过解方程（3）得到多普勒蓝移公式为：

根据前面“定理2”的结论我们得到多普勒红移公式为：

因此，我们就得到了相对论的多普勒频移公式。

证毕。

备注：对于多普勒频移公式在其他角度上的推导以及与相对论多普勒频移公式的差异，为了保持文章的连贯性，我们将在下一篇文章中给出，在此不再赘述。

相对论运动物体动质量公式的证明

推理：从多普勒频移公式，我们可以进一步推理得到运动物体的动质量公式m（v）为：，其中 为物体静止质量，v为物体运动速度。

证明：

假设两个质量为的正、反物质相对地面S观察系以速度v向S系X轴方向运动，正反物质相互湮灭生成两个频率为的光子，分别向S系的X轴正反两个方向发射，其中光子频率由质能方程得到。假设在S系地面观察者看来正反物质动质量为。由于正反物质湮灭后分别朝运动的前后两个方向发射两个频率为的光子。根据前面“定理3”的结论，地面观察者所接收到的光子总能量E为：

由于，因此有：

（4）

解方程（4）得：

这就是侠义相对论中的动质量公式。

证毕。

相对论速度变换公式的证明

第一种证明方式

图4 多普勒效应的相对论速度变换公式

Fig. 4 Relativistic velocity transformation formula of Doppler effect

如上图4所示，在地面观察者S系看来A和B两个物体都沿着S系X轴方向运动，其中B相对S系的运动速度为v，A相对S系的运动速度为u（u向X轴负方向运动，带负号）。

现在我们要求相对论速度变换公式：在B系看来，A的运动速度是多少？

我们假设B向A发射一个频率为 的光子，该光子被S系中处于A和B之间的一个物体P吸收，假设光子被S系吸收时光子红移后频率为，然后S系物体P又从另一侧向A发射同样频率为的一个光子，我们假设最终A吸收光子时观察到的光子频率为（我们假设A和B的质量相对光子而言都很大，可以忽略发射光子和吸收光子前后的运动速度差异）。

在 S系看来，吸收和发射频率为的光子的能量相同，方向相反，因此S系的动量和能量都保持不变。

此时，整个过程相当于直接从B发射一个能量的光子并被A物体所吸收。根据我们前面“定理3”的结论，A所接收到的光子频率为:

（5）

（备注：由于速度u是沿着X轴负方向运动，因此其符号为负）

如果我们假设在B看来，A的运动速度为 （运动方向为B的X轴负方向），那么上式（5）将变为：

解上述方程得：

证毕。

下面，我们把上述结论进行推广，如下图5所示：

图5 其他角度下的多普勒频移

Fig. 5 Doppler frequency at other angles

如果频率为的两个光子在A系发射的方向与X轴夹角为，假设光子对是对称发射的，其中假设运动前方S系检测到光子的角度为，光子频率为；后方检测到光子的角度为，光子频率为（假设、、取值范围为）。

由于物体A发射光子是对称的，因此发射前后A的运动速度v不变，Y轴方向上的动量也不变。

那么光子和将满足如下动量和能量守恒关系式：

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

其中，式子（6）指的是S系角度下的能量守恒；式子（7）指的是S系角度下的Y轴方向动量守恒，Y轴方向总动量为0；式子（8）指的是S系角度下X轴方向上的动量守恒。

由以上（6）、（7）、（8）、（9）、（10）五个方程，其中四个变量、、、，我们就能推出变量之间的关系。（其中（9）式和（10）式引用相对论变换关系结论[10]）

（摘要部分修改，添加了最后一句话解释下面方程解的意义；以下修改部分，增加了方程的解）

解方程（6）、（7）、（8）、（9）、（10）容易得方程的解为：

；

上述式子即为相对论的多普勒变换公式在其他角度上的结论。

因此，正确的相对论光行差公式为：

（10.1）

对比传统相对论光行差公式为：

传统光行差公式可转化为：

（10.2）

（10.1）和（10.2）是有差异的，本文对传统光行差公式进行了理论上的修正。

同时，我们能很容易的得出一个重要结论：

结论2：，也就是说多普勒频移效应在其他角度上时，观测者角度和发射者角度是不同的。

实际上这也是基于动量守恒与能量守恒的相对论效应，同时也反过来证明了空间的相对独立性。

证明：由于多普勒频移效应，有>，其中是频率为的光子发生多普勒蓝移后的频率，是频率为的光子发生多普勒红移后的频率。

因此，根据式子（5），我们很容易证明。

证毕。

这一结论与狭义相对论中的结论是不同的，在狭义相对论中爱因斯坦主要论述的是无穷远处光源与运动物体在不同角度相遇时的多普勒效应，而并未指出实际上多普勒频移效应类似于“速度变慢”和“长度收缩”一样，还具有角度变化的效应。

如下图6所示，我们可以更进一步的对多普勒效应进行分析：

图6 其他角度下的多普勒频移逆过程

Fig. 6 Inverse process of Doppler shift at other angles

如上图所示，如果我们用逆向过程来进行多普勒效应实验，即在图6中S系分别接收到频率为和的光子后，S系反过来从物体A前方以角度向A发射一个频率为的光子；从物体A的后方以角度向物体A发射一个频率为的光子。假设这两个光子都被A吸收，且在一条直线上。

我们很容易证明，这两个光子被A吸收时,在A系看来其角度为，频率为。因为在S系看来，吸收和发射光子前后其能量和动量都不变，是对称的。因此A系在发射和吸收光子前后，其能量和动量也将守恒。

因此，在v保持不变的情况下，其角度效应有如下关系：

其角度效应具有数学上的反函数关系：。

而且，我们可以推论：实际上在上述的多普勒效应的角度变换关系中，与光子能量是没有关系的。因为整个变换遵循的是能量和动量的守恒原则，它们显示出的是一种比例关系，与A系中的光子能量本身没有关系。

当然，我们可以通过如下另一种方式进行推导，并获得更多有用的结论。

第二种证明方式

1.3.2.1 我们做如下思想实验：

假设物体A静止质量为，相对为地面观察者S系向X轴方向以速度运动（A系的X轴方向与地面X轴平行）。有两个物体B和C，其静止质量为。它们相对地面S系的运动速度未知，但是它们相对物体A的运动速度分别为v和-v。现在要求在地面观察者S系看来，物体B和C的运动速度是多少（我们假设S系看来它们的速度分别为和），如下图7所示，我们也可以称地面参考系为S系，物体A的参考系为系或者A系：

图7 物体沿X轴方向运动的变换

Fig. 7 Transformation of object motion along x-axis

这里有两个潜在假设，我们将通过速度变换的论证来反过来证明这两个假设的正确性：

第一：任何物体的静止质量在任何惯性参考系中都是一致的，例如我们在任意惯性系观察电子e的质量一样，将具有全同性。

第二：假设两个参考系的物体在没有感受到任何加速的情况下，它相对于其他参考系的相对运动速度将保持不变（我们目前暂且不讨论引力场等效原理的解释，这会在下一篇文章中进行阐释）。

（1）我们假设B和C的运动方向都在X轴方向上，在A系看来B和C分别以速度v和-v发生碰撞并合并在一起，那么在A系看来，由于B和C质量相等且速度相反，碰撞后的B和C将相对于A系保持静止。那么此时，在地面观察者S系看来B和C碰撞后将会相对地面以速度沿X轴方向运动。

那么在地面观察者S系看来，由于B和C碰撞前后能量守恒，碰撞前的总质量为：

(11)

而在A系看来，B和C碰撞后相对于A系是静止的，B和C碰撞后静止质量为A系看到的碰撞前的动质量之和：。

该静止质量对于地面观察者S系也适用，因此地面观察者S系看来B和C碰撞后的总质量为（动质量）：

（12）

上述（11）式和（12）式相等，于是我们得到第一个方程：

方程一：

同样的我们能得到一个动量守恒方程：

方程二：

由于我们假设 、 、v、的运动方向都沿着S系和A系的X轴方向，那么，我们直接代入下面相对论速度变换公式进行验算。

根据狭义相对论的速度变换公式[11]，此时B的X轴速度分量为：

（13）

C的X轴速度方向为：

（14）

把(8)和(9)代入上述“方程（一）”和“方程（二）”进行验证，很容易验证(13)和(14)这两个方程是“方程（一）”和“方程（二）”的解。

结论：狭义相对论速度变换公式在X轴方向上是成立的。

1.3.2.2对于更一般的情况的讨论

如下图8所示：

图8 一般情况下的速度变换

Fig. 8 Velocity transformation in general

物体B和C静止质量相同，B和C发生碰撞并结合在一起，在A系看来物体B和C速度分别是和。其x、y、z轴三个方向速度分量分别为(、 、)和(、- 、-)。

也就是说在A系看来，碰撞后两个物体的运动速度将变为，沿着X轴方向运动。由于碰撞前后保持不变，显然对于S系而言物体B和C碰撞前后X轴方向速度分量也不变。

假设这两个物体B和C的运动速度在S系看来分别为和，我们假设其三个坐标速度分量分别为：(、 、)和(、 、)，那么就有：，，。

由于我们总能在保持X轴方向不变的情况下，旋转坐标轴使得物体B和C在Y、Z轴的运动速度分量，变为新坐标系中只沿着轴运动（A系和S系保持一致），因此实际上我们只需要考虑Y轴方向上的速度变换即可，因此我们可以简单假设，此时有：

假设B和C碰撞以前静止质量为，碰撞后的静止质量为，根据碰撞前后能量守恒，在A系看来有：

其中为物体B和C碰撞后的静止质量，因此得到碰撞后物体B和C的静止质量为:

（15）

根据我们在前面对X轴方向速度变换公式的结论，在S系看来有:

（16）

由于碰撞前后能量守恒，在S系看来有：

（17）

其中，

把上述（15）式代入到（17）式，得：

然后再把(16)式代入上述方程，展开后解方程得到：

考虑到和方向的一致性，因此取正号，这就是爱因斯坦狭义相对论速度变换公式在Y轴和Z轴方向上的分量。

证毕。

因此，我们通过上述思想实验证明了相对论速度变换公式；同时也证明了前面的两个假设的正确性：处于惯性系中物体的静止质量是唯一的，否则速度变换公式将不成立；同时，我们也证明两个物体之间发生相对运动速度变化的前提是受力。

对于上述推导过程的解释

相对论的变换公式都是基于惯性系假设、质能方程、能量守恒、动量守恒、普朗克能量频率公式等推导出来的，变换公式的核心本质，实际上是惯性系所隐含的能量和动量守恒之间的变换关系。

如果不抛弃空间的相对独立性，就会造成如狭义相对论中的时间变慢和长度收缩等一系列困扰。

本文主要是修正狭义相对论对时间和空间的误解，在坚实的实验证据作为基础的前提下进行推导，寻找出符合绝对同时性和空间相对独立性的相对论变换公式。

结论

本文基于质能方程和普朗克能量和动量公式，在不需要时间变慢及长度收缩的假设前提下，仅仅基于动量和能量守恒，对相对论的多普勒红移和蓝移公式、动质量方程、速度变换公式做了严格的推导和证明。

这样做的主要目的是结合作者另一篇文章的结论，去回答为什么不遵守时间变慢和长度收缩的假设，也能够让相对论的变换公式成立。证明同时性的绝对性和空间的相对独立性可能是正确的，以回答我们当前所面临的宇宙超光速膨胀、量子纠缠超距作用等问题。

另外，本文还通过严格的推导，补充了狭义相对论在论证多普勒频移公式中的一个缺陷：我们证明了实际上光子频率变换公式中的两个物体A和B的相对速度，指的是物体A或者B发射光子后A和B的相对运动速度。这样就能在实验中，更严谨的对多普勒频移公式进行测量及计算。

[参考文献] (References)

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[11] Simon Rainville, James K. Thompson et al，A direct test of E=mc2，Nature，2005， volume 438：1096–1097

作者简介：秦盛，男，2007年毕业于安徽大学数学系，2012年毕业于西南财经大学经济学院，主要研究方向：数学、物理学、社会科学. E-mail: qinsheng@smail.swufe.edu.cn