股票价格可预测性证明

高宏1，梅圣烽2*

（1. 清华大学精密仪器系，北京 100084；
2. 格拉斯哥大学亚当斯密商学院，格拉斯哥 G12 8QQ）

2.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.0Department of Precision Instrument,Tsinghua University；Adam Smith Business School,University of Glasgow,Glasgow G12 8QQ清华大学精密仪器系，北京 100084;格拉斯哥大学亚当斯密商学院，格拉斯哥 G12 8QQ100084;52800013801315250;1382777525562789898;13129129318北京市海淀区清华大学紫光大楼四层东区;广东省佛山市禅城区普澜二路27号A401gaohong@mail.tsinghua.edu.cn;shengfengmei0331@sina.com高宏（1960年），男，副教授，测试信号分析与处理;梅圣烽（1995），男，在读博士，研究方向资产定价高宏;梅圣烽GAO Hong;MEI Shengfeng高宏 2.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.01*|*专著*|*何兴强. 股票市场可预测性研究[M]. 广州：中山大学出版社，2009<CR>2*|*期刊*|*Eugene F. Fama. Random Walks in Stock Market Prices[J].Financial Analysts Journal, 1965, 21 (5):55–59.<CR>3*|*专著*|*张祖国. 证券投资分析[M]. 上海：上海财经大学出版社，2010.<CR>4*|*专著*|*费业泰. 误差理论与数据处理[M]. 北京：机械工业出版社，2014.<CR>5*|*专著*|*John J. Murphy. 金融市场技术分析[M]. 丁圣元译. 北京: 地震出版社出版, 2012.股票价格可预测性证明|Proof of Stock Price Predictability|*|1|高宏|GAO Hong|清华大学精密仪器系，北京 100084|Department of Precision Instrument,Tsinghua University|高宏（1960年），男，副教授，测试信号分析与处理|北京市海淀区清华大学紫光大楼四层东区|100084|gaohong@mail.tsinghua.edu.cn|62789898|13801315250<CR>|2|梅圣烽|MEI Shengfeng|格拉斯哥大学亚当斯密商学院，格拉斯哥 G12 8QQ|Adam Smith Business School,University of Glasgow,Glasgow G12 8QQ|梅圣烽（1995），男，在读博士，研究方向资产定价|广东省佛山市禅城区普澜二路27号A401|528000|shengfengmei0331@sina.com|13129129318|13827775255

摘要：有效市场理论认为股票市场未来的价格与当前和过去的历史价格无关，并得出了股票价格不存在趋势、股票价格无法预测和技术分析无效等结论。但是大量的金融市场异象表明，股票市场在一定程度上是可以预测的，有效市场理论与金融市场实践的严重脱节，使数理金融学面临严峻的挑战。本文根据股票价格对数收益率为不相关白噪声的实证研究结果，推导出了股票价格的自相关函数、功率谱密度及波动范围，发现了隐藏在股票价格中的长期线性趋势和低频波动，从理论上证明了股票价格具有可预测性。

关键词：自相关函数；功率谱密度；波动范围；

中图分类号：F830.91

Proof of Stock Price Predictability

GAO Hong1, MEI Shengfeng2

(1. Department of Precision Instrument,Tsinghua University;
2. Adam Smith Business School,University of Glasgow,Glasgow G12 8QQ)

Abstract: Efficient Market Theory believes that the future price of the stock market has nothing to do with the current and past historical prices, and concludes that there is no trend in stock prices, stock prices cannot be predicted, and technical analysis is invalid. However, a large number of financial market anonymous phenomenon have shown that the stock market is predictable to a certain extent, and the serious disconnect between the Effective Market Theory and financial market practice makes mathematical finance face severe challenges. Based on the empirical research result that the logarithmic return of stock prices is uncorrelated white noise, this paper derives the autocorrelation function, power spectral density and variation range of stock prices, which theoretically proves that stock prices are predictable.

Key words: autocorrelation function; power spectral density; variation range;

引言

股票市场是全球最大的商品市场，标准普尔《全球股票市场手册》数据显示，2015年全球股票交易总额与全球GDP之比已达163%，而中国股票交易总额与GDP之比高达355%。股票市场的快速发展有利于培育和繁荣金融市场，并促进实体经济的健康发展，但股票的高流动性、不稳定性、高风险性和高投机性等特征，会导致股票价格大幅波动，促生“泡沫经济”并引发“金融危机”，对整个社会经济的发展产生巨大影响。因此，研究和掌握股票价格的波动规律及可预测性，不仅可为证券投资活动的量化分析、资产定价、最优配置及风险管理提供有效可靠的科学依据，而且对于完善股票市场的监管措施，防范和化解股票市场的系统性风险，减小股票市场对社会经济造成的灾难，促进社会经济的持续稳定发展具有重要意义。

有效市场理论使用随机游走模型来描述股票价格波动，由于错误地将股票价格变化的不可预测性当作股票价格的不可预测性，从而得出了基于历史价格的股市技术分析纯属浪费时间，投资者不可能通过历史价格数据预测未来价格进而获得投资收益的结论[1]。

股票价格对数收益率

图1为上证指数1998年-2020年的对数收益率（日），可以看出，上证指数的对数收益率在下一时刻的方向和大小完全随机，与白噪声函数相似。事实上，众多学者通过对股票市场的长期观察和实证研究，早就得出了“股票价格的对数收益率为零均值不相关白噪声序列”这一重要结论[2]。

图1 上证指数对数收益率（日）

Fig. 1 daily log return of Shanghai Composite Index

设s(t)为t时刻的股票价格，y(t)=ln s(t)，则股票价格s(t)的对数收益率可表示为

式中ε(t)为零均值不相关白噪声函数，其自相关函数为

式中τ为时间间隔，N0为正实常数，N0的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率，δ(t)为单位冲击函数。

式（2）表明，股票价格对数收益Δy(t)仅在时间间隔τ=0时才有相关性，表明不同时刻的股票价格变化Δy(t)互不相关，Δy(t)不可预测。

但是，有效市场理论却将Δy(t)不可预测的性质直接用于y(t) [3]，从而得出了y(t)也不可预测的谬误。

事实上，若将式（1）迭代展开，有

式中ε(1)、ε(2)…ε(t)为白噪声函数在不同时刻的值，在t时刻均已发生，都是确定性的常数。

从式（3）可以看出，t时刻的股票价格y(t)是过去不同时刻所有ε(t)函数值的累加，y(t)不仅与当前时刻的ε(t)有关，而且与过去时刻的ε(1)、ε(2)…ε(t-1)都有关，表明y(t)具有很强的记忆性，投资者可以根据历史价格和历史价格的变化来预测其未来的走势。

股票价格自相关函数

式（1）为y(t)的一阶差分，设y(0)=0，则

求y(t)的自相关函数，有

Ry（） N0 t 自相关函数Ry()实质上描述了不同时刻股票价格y(t)的相关程度。图2为Ry()的图形，Ry()在很宽的范围内不为零，一是说明不同时刻的y(t)具有相关性，y(t) 未来的价格与历史价格之间存在某种程度的依赖关系；二是表明y(t) 随时间缓慢波动，具有较大的惯性，因此，股票价格y(t) 具有可预测性，y(t)的历史价格中存在可以识别和利用的规律。

图2 股票价格自相关函数

Fig. 2 autocorrelation function of stock price

从图2可以看出，未来股票价格y(t+)与当前股票价格y(t)之间的相关性与预测周期有关，随着预测周期的增加，y(t+)与y(t)的相关性线性下降为零，也就是说，股票价格的预测精度与预测周期成反比，股票价格的预测精度会随预测周期的增加而下降到零。

股票价格功率谱密度

y(t) 在[0，t]区间的平均功率有限，其自相关函数Ry()绝对可积，根据维纳-辛钦定理，y(t)的功率谱密度Sy(ω)是其自相关函数Ry()的傅立叶变换，有

式中Sinc(ωt)为辛格函数，是正弦函数Sin(ωt)与单调递减函数1/ ωt的乘积。

ω Sy(ω) N0t2 -2π/t -π/t π/t 2π/t y(t)的功率谱密度Sy(ω)图形如图3所示。

图3 股票价格功率谱密度

Fig. 3 power spectral density of stock price

功率谱密度Sy(ω)具有如下特性：

（1）Sy(0)=N0t2，表明y(t)中存在一条与时间t成正比的线性趋势线，y(t)围绕线性趋势线上下波动。

（2）功率谱密度Sy(ω)与频率ω2成反比，表明y(t)中谐波分量的波动幅度与其波动周期成正比，与道氏理论和波浪理论的描述完全一致。

（3）功率谱密度Sy(ω)图形的主瓣（第一个零点以内）内集中了90%以上的信号能量，表明股票价格主要是由惯性驱动的低频波动，低频波动在一定时间和条件下会保持原来的运动趋势和状态，在时间上表现出一定的连续性，因此股票价格具有可预测性。

事实上，早在100多年前，发明DJIA道琼斯指数、并创办《华尔街日报》的查尔斯·道（Charles Dow）就观察到股票价格是由基本波动、次级波动和日常波动三种不同周期的波动叠加而成，并发现其中的基本波动的变化幅度最大，上升时形成牛市，下降时形成熊市。基本波动具有很大的惯性，可以被跟踪预测；次级波动的方向与基本波动的方向可能相同，也可能相反，具有很大的欺骗性，无法提供准确、可靠的决策信息；而日常波动则具有很强的随机性，完全不可预测。

道氏理论的伟大之处在于，100年多前就指出股票价格由不同周期的波动叠加而成，并指出产生周期波动的原因源自投资者的心理行为，认为基本波动的运动趋势可以被预测。

在2005年-2007年的大牛市中，上证指数从2005年6月6日的998.23点一直上升到2007年10月16日的6124.04点，虽然增长幅度高达613.48%，但平均到每天的基本波动增幅只有0.3%，而同期上证指数日常波动的标准差为3.1%，最大波动幅度为9%，因此，上证指数的基本波动完全被日常波动所淹没，如果不借助于技术分析工具过滤图1所示的高频随机噪声，人们很难发现隐藏在股票价格中的基本波动，并根据看到的日常波动认定股票市场随机变化不可预测。

股票价格波动范围

将式（4）改写为

式中为白噪声函数ε(t)在[0，t]区间上的算术平均值，其物理意义表示定义在[-∞，+∞]上的白噪声信号在[0，t] 区间上被截断后产生的直流分量。

从式（7）可以看出，股票价格y(t)的波动特性完全取决于白噪声算术平均值的性质。算数平均值反映了ε(t)中的确定性部分，它是随机现象统计规律性的具体表现。

由于白噪声函数值ε(t)是随机的，因此由ε(t)构造出的算数平均值也是随机的。根据大数定律，当t充分大时，将会趋于一个常数m，围绕常数m上下波动，表明y(t)中存在一条与时间t成正比的线性趋势线。

注意，即使t充分大时，也不会等于零。从频域角度看，白噪声ε(t)中包含了所有频率的谐波分量，在[0，t]有限区间不可能对所有频率的谐波分量进行整周期截取，因此，频谱泄漏效应会导致ε(t) 在[0，t]区间被截断后产生直流分量。

假设白噪声ε(t)服从（0，σ2）正态分布，则算术平均值的方差为[4]

ε反映了算术平均值偏离常数m的程度，在m±3ε范围内波动的概率为99.73%。因此，y(t)也会以99.73%的概率在相应范围内波动。

使用传统技术分析中的轨道线作图法[5]，就能根据股票市场指数的历史数据预测其未来线性趋势和波动范围。以上证指数为例，将股票分析软件的主图坐标设置为对数坐标，将上证指数周K线或月K线历史数据的最高点连成一条直线（图4），可得上证指数波动范围的上限；将上证指数周K线或月K线的历史数据最低点连成一条直线，可得上证指数波动范围的下限。上证指数未来将以99%以上的概率在上、下限构成的线性通道内运行。如果未来上证指数接近或突破上限运行，表示股票市场已到达牛市的顶部；如果上证指数靠近或跌穿下限运行，则表明股票市场处于熊市的底部。

图4 上证指数波动范围

Fig.4 variation range of Shanghai Composite Index

股票价格低频波动分析方法

股票价格y(t)中的低频波动对于降低股票投资风险和提高股票投资收益具有非常重要的意义。一是低频波动是股票价格y(t)中波动幅度最大的谐波分量，在其底部买入、顶部卖出，就可实现投资收益最大化。二是低频波动具有很大的惯性，在一定时间和条件下会保持原来的运动趋势和状态，是股票价格中确定性最高的谐波分量，借助于现代信号分析技术，可以获得低频波动的上升、顶部、下降和底部等运动状态，为投资者提供实时、有效的科学决策信息。

股票分析软件中的长期MA（moving average）移动平均线就是股票价格中的低频波动（基本波动）曲线。移动平均线的基本思想是利用连续N个交易日收盘价的算数平均值，来消除股票价格中随机波动（日常波动）和短期震荡（次级波动）。从信号分析的角度看，移动平均计算方法相当于一个数字低通滤波器，其单边带宽为2π/N，噪声减小比NRR（noise reduction ratio）为1/N，因此只要N足够大，就能将随机波动和短期震荡衰减到最低程度。但是，移动平均线计算方法会产生（N-1）/2的相位延迟，使MA移动平均线滞后于实际股票价格，无法为投资者提供实时的低频波动状态信息。

股票价格中的低频波动、短期震荡和随机波动在时间轴上相互叠加，再加上低频波动完全被短期震荡和随机波动所淹没，因此在时域很难将低频波动从股票价格数据中同步提取出来。由于低频波动、短期震荡和随机波动的频率不同，在频域处于不同的频段，而且低频波动在频域的波动幅度最大，因此在频域很容易发现并同步提取出股票价格中的低频波动。

对股票价格y(t)进行快速傅里叶变换，可得股票价格y(t)的频谱Y(ω)，然后对Y(ω)中的低频波动频谱F(ω) 进行快速傅里叶逆变换，就可获得低频波动f(t)。

图5为上证指数2004年6月至2020年8月的周K线、60周移动平均线及低频波动曲线。

图5 上证指数低频波动曲线

Fig.5 low frequency waveform of Shanghai Composite Index

从图5可以看出，上证指数的60周移动平均线和低频波动曲线均为连续、可微、无折点的光滑曲线。移动平均线重要的底部和顶部滞后上证指数约30周，无法为投资者提供实时的买入和卖出信号。低频波动曲线由于消除了线性趋势和相位滞，因此低频波动曲线的底部和顶部与上证指数完全同步，能够为投资者提供及时、最佳的买入和卖出信号。

在牛市过程中，移动平均线和低频波动曲线均单调上升，在熊市过程中移动平均线和低频波动曲线均单调下降，两者都消除了牛市深度调整和熊市大幅反弹对低频波动的影响，可以为投资者提供可靠的低频波动趋势信息。

根据低频波动f(t)的变化Δf(t)，很容易判定股票价格y(t)的运动状态及趋势：

（1）若Δf(t)>0，则f(t)单调增加，表明y(t)处于上升趋势；

（2）若Δf(t)<0，则f(t)单调减少，表明y(t)处于下降趋势；

（3）若Δf(t0)=0，且经过t0时Δf(t0)由正变负，则f(t0)为极大值点，表明y(t)处于顶部；

（4）若Δf(t0)=0，且经过t0时Δf(t0)由负变正，则f(t0)为极小值点，表明y(t)处于低部。

（5）若Δf(t0)=0，且经过t0时Δf(t0)不变号，则f(t0)不是极值点，表明y(t)趋势不变。

事实上，传统技术分析就是利用 K 线、切线、形态、波浪理论和移动平均线等分析方法来过滤股票价格中的短期震荡和随机干扰，来提取股票价格中的低频波动信息，从而为股票投资提供决策依据。

结论

准确预测股票价格的波动趋势对资产定价、投资决策、风险管理及市场监管都具有非常重要的意义。本文根据股票价格对数收益率为不相关白噪声的实证研究结果，推导出了股票价格的自相关函数、功率谱密度及波动范围，发现了隐藏在股票价格中的长期线性趋势和低频周期波动，从理论上证明了在微观上表现出随机性和不可预测性的股票价格波动，在宏观上具有总体的确定性和可预测性，不仅推翻了有效市场理论股票价格不可预测的谬误，而且也验证了一个哲学命题：随机性和确定性是对立统一的关系，随机性是确定性的表现形式，确定性存在于随机性之中，为传统技术分析和现代量化分析提供了坚实的基础理论依据。

[参考文献] (References)

[1] 何兴强. 股票市场可预测性研究[M]. 广州：中山大学出版社，2009
[2] Eugene F. Fama. Random Walks in Stock Market Prices[J].Financial Analysts Journal, 1965, 21 (5):55-59.
[3] 张祖国. 证券投资分析[M]. 上海：上海财经大学出版社，2010.
[4] 费业泰. 误差理论与数据处理[M]. 北京：机械工业出版社，2014.
[5] John J. Murphy. 金融市场技术分析[M]. 丁圣元译. 北京: 地震出版社出版, 2012.

作者简介：高宏（1960年），男，副教授，测试信号分析与处理. E-mail: gaohong@mail.tsinghua.edu.cn